GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie


GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Jusque vers 1800, la géométrie dite «élémentaire» est restée à peu de chose près ce qu’elle était dans l’Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l’invention de la «géométrie analytique» ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d’action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et de la géométrie différentielle). Mais, même dans les exposés d’Euclide et de ses continuateurs, bien que l’intérêt se concentre sur les propriétés des figures «classiques» (triangle, rectangle, parallélogramme, cercle, coniques, etc.), les isométries (transformations de l’espace ou du plan conservant les distances) jouent un rôle essentiel, non toujours explicité; le fait qu’elles forment un groupe était implicitement utilisé bien avant que la notion abstraite de groupe ne se fût dégagée. À partir de 1800 environ, avec le développement de la géométrie projective, on commence à distinguer, parmi les notions géométriques invariantes par isométrie, celles qui sont de nature «descriptive» de celles que l’on qualifie de «métriques», les premières restant invariantes par des transformations plus générales , à savoir celles qui transforment linéairement les coordonnées cartésiennes; par exemple, dans le plan, au point (x , y ) correspond le point (x , y ) tel que:

C’est ainsi que, par une telle transformation, une médiane d’un triangle se transforme en une médiane du triangle image: la notion de médiane est «descriptive»; au contraire, une hauteur d’un triangle n’a pas cette propriété: la notion de hauteur est «métrique». Avec Félix Klein et son « programme d’Erlangen » (1872), cette distinction s’est précisée, et le concept même de «géométrie» a reçu une définition générale, englobant la géométrie classique (dite aussi «euclidienne»), la géométrie projective, la géométrie conforme, les géométries «non euclidiennes», etc.: une géométrie est l’étude des notions et des propriétés qui restent invariantes par un groupe donné de transformations. De ce fait, la «géométrie», après Klein, est devenue essentiellement l’étude de ces groupes, les propriétés des «figures» classiques passant au second plan; plus généralement, dans toutes les parties des mathématiques où intervient un espace homogène G/H (ou, ce qui revient au même, un espace dans lequel un groupe G opère transitivement ), un principe fécond est d’en ramener l’étude à celle du groupe G lui-même.

Les groupes envisagés par Klein et certaines de leurs généralisations sont connus sous le nom de «groupes classiques»; en tant que groupes de Lie, ils correspondent aux algèbres de Lie simples «classiques» (cf. GROU- PES – Groupes de Lie) et, de ce fait, la théorie des représentations linéraires (de dimension finie) et des invariants de ces groupes peut être regardée comme entièrement connue (ibid. ); ce qui, en un certain sens, permet de considérer les «géométries» correspondantes comme essentiellement achevées et ne présentant plus aucun problème digne de recherches mathématiques sérieuses.

Nous allons parler d’abord en détail des deux groupes les plus liés à la géométrie classique, le groupe linéaire général et le groupe orthogonal ; mais nous nous placerons d’emblée dans la géométrie à n dimensions (n arbitraire 閭 2). Nous supposons connus du lecteur les notions et résultats fondamentaux de l’algèbre linéaire et multilinéaire, exprimés dans le langage géométrique des espaces vectoriels ou projectifs (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE); il pourra voir combien l’algèbre linéaire facilite, dans ces groupes, la solution de problèmes qui présentent de grandes difficultés dans des groupes quelconques.

1. Le groupe linéaire général

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps R des nombres réels; on appelle groupe linéaire général de E et on note GL(E) le groupe de tous les automorphismes de l’espace vectoriel E (ou transformations linéaires de E en lui-même); il est isomorphe au groupe GL(n , R) des matrices inversibles d’ordre n sur R. L’application u 料 det(u ), où det(u ) désigne le déterminant de u , est un homomorphisme de GL(E) sur le groupe multiplicatif R des nombres réels 0; le noyau SL(E), ou SL(n , R), de cet homomorphisme est appelé groupe unimodulaire ou groupe linéaire spécial .

Générateurs

On caractérise aisément les involutions de GL(E), transformations u telles que u 2 = 1 ou u -1 = u . Comme on peut écrire:

on voit que E est somme directe de deux sous-espaces V+, V- dans lesquels on a respectivement u (x ) = x et u (x ) = 漣 x (ce sont donc les sous-espaces propres de u pour les valeurs propres 1 et 漣 1); on a:

où dim V- est la dimension de l’espace vectoriel V-. Si V- =0, u est l’identité; si V+ =0, u est la symétrie x 料 漣 x . Lorsque V+ est un hyperplan H, on dit que u est une réflexion d’hyperplan H.

Si H est un hyperplan d’équation f (x ) = 0 (f forme linéaire), les transformations de GL(E) qui laissent invariants tous les points de H sont de deux sortes:

a ) les dilatations : une telle transformation u est définie par une droite D supplémentaire de H et par un nombre 1 tels que u (x ) =x dans D, d’où:

pour x quelconque dans E, p (x ) étant la projection de x sur H parallèlement à D (fig. 1). On a det(u ) =; pour = 漣 1, on obtient les réflexions d’hyperplan H.

b ) les transvections , de la forme:

a 捻 H; dans l’hyperplan affine H1 parallèle à H, d’équation f (x ) = 1, u est la translation zz + a (fig. 2).

On dit que u est une transvection d’hyperplan H et de droite D = Ra ; on a det(u ) = 1. Les transvections forment un système générateur de SL(E); les dilatations et les transvections engendrent GL(E). Toute transvection est produit de deux réflexions.

Centralisateurs

Soit Z = Z(E) le groupe des homothéties h size=1: xx de rapport 0, qui est isomorphe à R . Une homothétie peut être caractérisée comme une transformation de GL(E) laissant invariante (globalement) toute droite de E.

Pour tout hyperplan H de E, les transvections d’hyperplan H forment un groupe commutatif 粒(E, H) isomorphe au groupe additif H; son centralisateur dans GL(E) est le groupe Z 粒(E, H). Une transvection 1 et une dilatation ne sont jamais permutables; le centralisateur dans GL(E) du sous-groupe 臨(E, H) laissant invariants tous les points de H est donc réduit à Z; en particulier Z est le centre de GL(E), et Z 惡 SL(E) le centre de SL(E) (isomorphe au sous-groupe de 捻 R tels quen = 1, donc réduit à l’élément neutre, si n est impair, et formé de l’identité et de la symétrie x 料 漣 x , si n est pair).

Les transvections de droite donnée D (et d’hyperplan variable contenant D) forment un groupe commutatif 粒 (E, D); le centralisateur de ce sous-groupe dans GL(E) est Z 粒 (E, D).

Propriétés de transitivité et de conjugaison

Le groupe SL(E), et a fortiori GL(E), opère de façon doublement transitive sur les droites de E; si (D1, D2) et (D 1, D 2) sont deux couples de droites distinctes, il existe au moins une transformation uSL(E) telle que u (D1) = D 1, u (D2) = D 2; si n = 2, GL(E) opère de façon triplement transitive sur les droites de E. En général, on appelle repère projectif de E un système (Dj ) de n + 1 droites de E dont n quelconques ne sont pas dans un même hyperplan; pour deux repères projectifs (Dj ) et (D j ), il existe uGL(E) tel que u (Dj ) = D j pour 1 諒 jn + l, et u est déterminé à un facteur h size=1 près.

Deux réflexions quelconques sont conjuguées dans GL(E); il en est de même de deux transvections 1. Si n 閭 3, deux transvections 1 sont conjuguées dans SL(E); au contraire, si n = 2, il y a deux classes de transvections conjuguées dans SL(E): si t est une transvection 1, t et t k sont conjuguées dans SL(E) pour k 礪 0 mais non pour k 麗 0.

En tout cas, comme:

pour un s SL(E), toute transvection est un commutateur de deux éléments de SL(E) et, par suite, SL(E) est égal à son groupe des commutateurs , qui est aussi le groupe des commutateurs de GL(E).

Simplicité du groupe SL(E)/(Z size=5惡 SL(E))

On va voir que tout sous-groupe distingué N de SL(E) est soit contenu dans le centre Z 惡 SL(E), soit égal à SL(E). Supposons donc N 說/ Z.

a ) N opère transitivement sur les droites de E. En effet, si u 捻 N n’est pas dans Z, il existe au moins une droite D telle que u (D) D; pour toute autre droite D , il y a un v SL(E) tel que v (D) = D , donc uv -1(D ) v -1(D ) ou vuv -1(D ) D , et on a vuv -1 捻 N; donc, pour toute droite D1 de E, il y a un u 1 捻 N tel que u 1 (D1) D1. Soit D2 une droite distincte de D1 et montrons qu’il existe u 捻 N tel que u (D1) = D2. Comme SL(E) opère de façon doublement transitive sur les droites de E, il existe vSL(E) tel que v (D1) = D1, v (D2) = u 1(D1); alors v -1u 1v (D1) = D2 et v -1u 1v 捻 N.

b ) Pour toute droite D de E, soit SD l’ensemble des v SL(E) tels que v (D) = D; alors SL(E) = N. SD; en effet, pour tout uSL(E), il existe v 捻 N tel que u (D) = v (D), donc v -1 u 捻 SD.

c ) SD contient le groupe commutatif 粒 (E, D), qui est évidemment distingué dans SD, et on a vu (cf. Générateurs, supra ) que les conjugués dans SL(E) du groupe 粒 (E, D) engendrent SL(E). Tout vSL(E) peut donc s’écrire:

avec t i 捻 粒 (E,D); puis on peut écrire s i = u i v i avec u i 捻 N et v i 捻 SD, en vertu du chapitre 2; puisque 粒 (E, D) est distingué dans SD, on a:

avec t i 捻 粒 (E,D). Mais, comme N est distingué dans SL(E), un produit d’éléments de 粒 (E, D) et d’éléments de N (dans n’importe quel ordre) peut toujours s’écrire ut avec u 捻 N et t 捻 粒 (E, D). Considérons alors deux éléments v 1 = u 1 t 1, v 2 = u 2 t 2 de SL(E), avec u 1, u 2 dans N et t 1, t 2 dans 粒 (E, D); on a donc:

en vertu de la commutativité du groupe 粒 (E, D). Mais on a vu plus haut (Propriétés de transitivité et de conjugaison ) que SL(E) est égal à son groupe des commutateurs; donc N = SL(E).

2. Le groupe orthogonal

On suppose donné sur E un produit scalaire : c’est une application bilinéaire :

de E 憐 E dans R, qui est en outre supposée symétrique , c’est-à-dire que:

et positive non dégénérée , c’est-à-dire que:

pour x 0 dans E. La donnée d’une telle application définit dans E une notion d’ orthogonalité : x , y dans E sont dits orthogonaux si l’on a (x |y ) = 0 (relation symétrique en x et y ). On dit que deux sous-espaces vectoriels V, W de E sont orthogonaux si tout vecteur de V est orthogonal à tout vecteur de W; pour un sous-espace vectoriel V donné, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de V est le plus grand sous-espace vectoriel orthogonal à V; on l’appelle l’orthogonal de V et on le note V size=1. On a les relations:

L’exemple classique de produit scalaire dans Rn est:

inversement, pour tout produit scalaire (x |y ) sur E, il existe une base dite orthonormale (e j ) de E telle que:

Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est ce qu’on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d’espace euclidien pour lesquelles les notions d’orthogonalité sont distinctes; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l’existence des bases orthonormales. On suppose dans ce qui suit que le produit scalaire est fixé , et on pose 瑩x 瑩 =(x |x )1/2 (longueur du vecteur x ).

On appelle similitude de E une transformation linéaire u GL(E) telle que:

quels que soient x , y dans E, où 猪 = 猪(u ) est une constante 0 dite multiplicateur de u ; on a nécessairement 猪 礪 0 comme on le voit en faisant y = x 0. Si U est la matrice de u rapporté à une base orthonormale , il revient au même de dire que:

Les similitudes forment un sous-groupe GO(E) 說 GL(E), et u 料 猪(u ) est un homomorphisme de ce groupe sur le groupe multiplicatif R + des nombres réels 礪 0; son noyau O(E) est appelé le groupe orthogonal de E (pour le produit scalaire considéré); c’est donc le sous-groupe de GL(E) formé des u tels que:

on peut montrer que c’est aussi le groupe de toutes les applications – non supposées linéaires a priori – telles que u (0) = 0, 瑩 u (x ) 瑩 = 瑩 x 瑩 pour tout x 捻 E.

Toute homothétie h size=1 est une similitude de multiplicateur2; toute similitude de multiplicateur 猪 s’écrit d’une seule manière h size=1v , où = 連 猪 et vO(E); GO(E) est produit direct du groupe O(E) et du groupe multiplicatif Z+(E) des homothéties de rapport 礪 0, isomorphe à R +.

Pour une transformation orthogonale de matrice U , on a, d’après la formule (1), (det U )2 = 1; le sous-groupe O+(E), ou SO(E), des transformations orthogonales de déterminant l (aussi appelées rotations ) est d’indice 2 dans O(E). Les similitudes appartenant au sous-groupe:

sont dites directes , les autres inverses .

Lorsque E = Rn , on suppose toujours que Rn est muni du produit scalaire classique, et on écrit O(n , R) [resp. O+(n , R) ou SO(n , R)] au lieu de O(Rn ) [resp. O+(Rn )] et on l’identifie avec le groupe des matrices orthogonales (i.e. telles que t U = U -1). Si E est de dimension n , le groupe O(E) est isomorphe à O(n , R).

Générateurs du groupe orthogonal

Les involutions u de GL(E) qui appartiennent à O(E) sont celles pour lesquelles les sous-espèces propres V+ et V- (cf. Générateurs , in chap. 1) sont orthogonaux : on dit encore qu’une telle involution est une symétrie orthogonale par rapport à V+. Lorsque V+ est un hyperplan H, on dit encore réflexion orthogonale de droite V- = H size=1. Si dim E = n , toute transformation orthogonale est produit de n réflexions orthogonales au plus. Lorsque V+ est de dimension n 漣 2, on dit que l’involution est un renversement d’axe V-; pour n 閭 3, toute rotation est produit de n renversements au plus. Tout renversement est un commutateur de O+(E) si n 閭 3: en effet, soit (e 1, e 2) une base orthonormale de V-, et posons V+ = Re 3 簾 W, où W est orthogonal à e 3 ; on peut écrire u = v 1v 2, où v 1 (resp. v 2) est le renversement d’axe Re 1Re 3 (resp. Re 2Re 3); comme v 2 est conjugué de v 1 dans O+ (E) [cf. infra, Propriétés de transitivité et de conjugaison ] et comme v 1 = v -11, on a u = v -11sv 1s -1 pour un sO+(E). On en conclut que O+(E) est son propre groupe des commutateurs et le groupe des commutateurs de O(E).

Le centre Z0 de O(E) est formé de l’identité et de la symétrie x 料 漣 x . Si n est pair, Z0 est aussi le centre de O+(E); sinon, le centre de O+(E) est réduit à l’identité et O(E) est le produit direct Z0O+(E).

Propriétés de transitivité et de conjugaison

Pour que deux sous-espaces vectoriels V1, V2 de E soient transformés l’un de l’autre par une transformation orthogonale, il faut et il suffit qu’ils aient même dimension; il existe alors une rotation u telle que V2 = u (V1). Les symétries orthogonales par rapport à V1 et V2 sont alors conjuguées.

Le groupe O(2, R) et les angles

Pour une matrice U d’ordre 2, le calcul montre que la relation (1) équivaut à dire que U peut prendre l’une des deux formes:

avec 見2 + 廓2 0.

Les matrices U 1 (resp. U 2) sont celles des similitudes directes (resp. inverses). On déduit de ces formules que le groupe GO+(R2) des similitudes directes est commutatif , donc aussi le groupe O+(R2) des rotations; GO+(R2) opère de façon simplement transitive dans R2 漣0. On voit aussi que:

est un sous-corps commutatif de l’anneau M2(R); il s’identifie au corps C des nombres complexes en identifiant la matrice:

au nombre complexe 見 + 廓i , image du vecteur de base e 1 par la similitude correspondante. Le groupe O+(R2) est alors identifié ainsi au groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1.

On appelle groupe des angles un groupe face=F9828 u isomorphe à O+(R2) (donc à U) mais noté additivement ; il n’y a, par suite, pas de distinction essentielle à faire entre les notations d’angle et les notations de rotation plane, bien qu’il soit commode de parler de la «rotation d’angle » et de la noter:

Puisque, par définition, r est un isomorphisme de face=F9828 u sur O+(2, R), on a:

Par définition, les éléments 見 et 廓 dans la matrice:

se notent cos et sin et s’appellent le cosinus et le sinus de l’angle 捻 face=F9828 u. Les formules précédentes sur r se traduisent en les formules dites « trigonométriques »:

qui ne font donc que transcrire des propriétés du groupe O+(2, R).

Pour deux vecteurs x et y de R2 de même longueur 瑩x 瑩 = 瑩y 瑩 0, il existe une rotation u et une seule telle que u (x ) = y ; l’angle de cette rotation est appelé l’angle de y avec x et noté (x , y ). Si les deux vecteurs sont unitaires, on a cos = (x | y ).

Si x , y , z sont trois vecteurs de même longueur dans R2, on a:

Le groupe des angles face=F9828 u contient des éléments d’ordre fini : par exemple, l’angle droit 嗀 qui correspond au nombre complexe iU ou à la matrice:

on a 4 嗀 = 0 (un angle de «quatre droits» est l’angle nul ). Il n’est donc pas possible de définir sur face=F9828 u une relation d’ordre pour laquelle les relations 礪 0, 礪 0 entraîneraient + 礪 0, et il est absurde de parler d’un angle «plus petit qu’un autre». Il est tout aussi absurde de considérer un angle comme une «grandeur mesurable», puisqu’on sait que, pour de telles grandeurs, il y a une relation d’ordre du type précédent. Par contre, une propriété fondamentale du groupe U est l’existence d’un homomorphisme continu 﨏, noté:

du groupe additif R sur U, qui est automatiquement dérivable et est le seul homomorphisme continu tel que 﨏 (0) = i . Il est périodique et sa plus petite période positive est 2 神 (ce qui définit le nombre 神). Le cosinus et le sinus d’un nombre réel t se définissent alors par:

l’angle 福 tel que r( 福) = e i est appelé radian et, si, pour un angle , on a r( ) = e it , on dit (improprement) que t est une «mesure en radians» de (il y en a une infinité différant de multiples entiers de 2 神; cf. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME). On a vu plus haut (Générateurs du groupe orthogonal ) que toute rotation r( ) est produit de deux symétries orthogonales s 1, s 2 autour de deux droites D1, D2; si x 1 捻 D1 et x 2 捻 D2 ont la même longueur et si (x 1, x 2) = 諸, on a = 2 諸. Notons enfin que O+(2, R) est le groupe des commutateurs de O(2, R).

Structure des transformations orthogonales

Pour toute transformation orthogonale uO(E), il y a une décomposition de E en sous-espaces deux à deux orthogonaux V, W, P1, P2..., Pr stables par u et tels que:

a ) la restriction de u à V est l’identité;

b ) la restriction de u à W est la symétrie x 料 漣 x ;

c ) chacun des Pj est un plan (espace de dimension 2) et la restriction u j de u à Pj est une rotation distincte de l’identité et de x 料 漣 x .

Si 切j est une isométrie de P sur R2, il existe un angle j distinct de 0 et de 2 嗀 tel que u j = 切j -1r( j ) 切j , et j est déterminé «au signe près» indépendamment du choix de 切j ; les valeurs propres de u sont 1 (de multiplicité dim V), face=F0019 漣 1 (de multiplicité dim W) et les e size=1i size=1j (ces dernières peuvent être multiples si j = 梁 k pour j k ).

On a det (u ) = (face=F0019 漣 1)dim W; par suite, si uO+(E) et si dim E est impair (resp. uO+(E) et dim E pair ), W est nécessairement de dimension paire (resp. impaire); donc V ne peut être réduit à 0, en d’autres termes il existe au moins un vecteur x 0 invariant par u .

Simplicité du groupe +(3, R)

Montrons que tout sous-groupe distingué N de O+(3, R) non réduit à l’identité est nécessairement égal à O+(3, R). Supposons donc qu’il existe u 1E dans N, de sorte que (cf. supra, Structure des transformations orthogonales ) il existe une droite D dont tous les points sont invariants par u , et la restriction de u au plan P = D size=1 est une rotation d’angle 0 (déterminé «au signe près»). Distinguons trois cas:

a ) Cos = 漣 1 ou = 2 嗀, autrement dit u est un renversement ; mais, comme N est distingué, il contient tous les renversements (cf. supra, Propriétés de transitivité et de conjugaison , in chap. 2), et donc il est égal à O+(3, R) (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).

b ) Cos 麗 0. Soit e 3 un vecteur de longueur 1 dans D, e 1 un vecteur de longueur 1 dans P et e 2 = u (e 1) 捻 P; on a (e 1 | e 2) = Cos 麗 0. Considérons un vecteur x =e 3 + e 1; on a u (x ) =e 3 + e 2, donc (x | u (x )) =2 + Cos , et, en prenant = (face=F0019 漣 Cos )1/2, on obtient un vecteur tel que (x | u (x )) = 0 (fig. 3). Soit alors v le renversement d’axe Rx ; uvu -1 est le renversement d’axe Ru (x ). Comme N est distingué,

et c’est le renversement d’axe orthogonal au plan RxRu (x ). On est ainsi ramené au cas a .

c ) 0 麗 Cos 麗 1. On voit aisément qu’il existe un entier n 礪 0 tel que Cos n 麗 0; comme u n 捻 N, il suffit d’appliquer le cas b à u n et la démonstration est achevée.

Les groupes +(n, R) pour n size=5閭 4

En utilisant la simplicité du groupe O+(3, R), on peut, par un raisonnement tout aussi élémentaire mais assez long, prouver que:

est simple pour n 閭 5; cela entraîne que, si n 閭 5 est pair, il ne peut y avoir de sous-groupe 臨 de O+(n , R) tel que O+(n , R) soit produit semi-direct de Z0 et de 臨, car 臨 serait d’indice 2, donc distingué. Par contre, le groupe O+(4, R) a une structure tout à fait exceptionnelle, liée à l’existence du corps des quaternions H (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 2). Identifiant H et R4 on montre en effet que toute rotation de R4 peut s’écrire xsxt , où s et t sont deux quaternions tels que N(s )N(t ) = 1; en outre, si sxt = s xt pour tout xH, on a nécessairement s =s , t =-1t pour un 捻 R. On en déduit que le groupe O+(4, R)/Z0 est isomorphe au produit de deux groupes simples isomorphes à O+(3, R); mais Z0 n’est pas facteur direct dans O+(4, R).

Spineurs

L’algèbre des quaternions sur R se généralise de la façon suivante. Pour tout entier n 閭 2, il existe une algèbre Cn sur R, de dimension 2n , dite algèbre de Clifford d’indice n , qui est engendrée, en tant qu’algèbre, par l’élément unité 1 et n éléments e j (1 諒 jn ) identifiés à la base canonique de Rn , et qui sont assujettis à vérifier les conditions suivantes:

On montre que les 2n produits:

(où 0 諒 pn , i 1i 2 麗 ... 麗 i p ) forment une base sur R de l’espace vectoriel Cn . Ceux de ces éléments pour lesquels p est pair forment une sous-algèbre C+n de Cn , de rang 2n-1 sur R. Pour deux vecteurs a et x de Rn 說 Cn , on a ax + xa = 漣 (x | a ) dans Cn , donc 漣 2(a | a ) = a 2 et finalement, si a 0,

ce qui prouve que l’application x 料 漣 axa -1 de Rn dans lui-même n’est autre que la réflexion orthogonale s a de droite Ra (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).

Le groupe multiplicatif engendré dans C+n par les produits ab , où a et b varient dans Rn 漣0 et sont de longueur 1, est noté Spin(n ); on montre qu’il existe un homomorphisme surjectif et un seul 靖: Spin(n )O+(n , R) tel que 靖ab = s a s b ; le noyau de cet homomorphisme est formé de l’identité et de 漣 1, mais Spin(n ) n’est pas produit semi-direct de ce sous-groupe et d’un groupe isomorphe à O+(n , R). Lorsque l’on considère C+n comme un espace vectoriel sur lequel Spin(n ) opère par multiplication à gauche, les éléments de C+n sont appelés spineurs (cf. GROUPES – Groupes de Lie).

3. Les groupes orthogonaux des formes non positives

Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque 淋(x , y ); pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à 淋) telle que:

et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées («loi d’inertie»); on dit que (p , np ) est la signature de 淋; un produit scalaire est donc une forme de signature (n , 0).

La différence fondamentale entre le cas 1 麗 pn et les cas p = n et p = 0 réside dans l’existence de vecteurs x 0 tels que 淋(x , x ) = 0, dits vecteurs isotropes (leur ensemble est appelé cône isotrope de E). Plus généralement, il y a des sous-espaces V 0 tels que la restriction de 淋 à V soit identiquement nulle ; on dit que ces espaces sont totalement isotropes et leur dimension maximale est:

appelée indice de Witt de 淋. On définit comme dans le chapitre 2 les notions de vecteurs orthogonaux (pour 淋) et de sous-espaces orthogonaux ; on a encore entre V et son orthogonal V size=1 les mêmes relations, sauf les relations (équivalentes) V 惡 V size=1 =0 et V + V size=1 = E; si V 惡 V size=1 0, on dit que V est un sous-espace isotrope . Dire que V 說 V size=1 signifie que V est totalement isotrope; pour tout sous-espace V, V 惡 V size=1 est totalement isotrope et c’est, en fait, le plus grand sous-espace totalement isotrope contenu dans V ou V size=1.

Ces notions d’«orthogonalité» relatives à 淋 ont une traduction plus familière (tout au moins pour n = 4) en géométrie projective; si P(E) est l’espace projectif (de dimension n 漣 1) associé à E, l’image Q dans P(E) du cône isotrope d’équation 淋(x , x ) = 0 est appelée quadrique (ou hyperquadrique ) projective non dégénérée; si x et y sont deux vecteurs 0 dans E, orthogonaux pour 淋, on dit que les images de Rx et Ry sont des points de P(E) conjugués par rapport à Q. Si D est une droite de E et H = D size=1 l’hyperplan orthogonal pour 淋, on dit que le point de P(E) correspondant à D est le pôle de l’hyperplan projectif correspondant à H et que ce dernier est l’hyperplan polaire de ce point (par rapport à Q). Un sous-espace isotrope de E a pour image une variété projective tangente à Q et un sous-espace totalement isotrope a pour image une variété projective contenue dans Q (de dimension projective v 漣 1; pour n = 4, v = 2, ce sont les génératrices de Q).

On définit les similitudes et les transformations orthogonales relatives à 淋 en remplaçant, dans les définitions du chapitre 2, le produit scalaire par 淋(x , y ); on note GO( 淋) [resp. O( 淋)] le groupe des similitudes [resp. le groupe orthogonal] relatif à 淋; on a GO(face=F0019 漣 淋) = GO( 淋). La loi d’inertie montre que le multiplicateur 猪(u ) d’une similitude est nécessairement 礪 0 sauf si n est pair et p = n /2; sauf dans ce dernier cas, GO( 淋) est produit direct de O( 淋) et de Z+(E); si p = n /2, ce produit direct est un sous-groupe d’indice 2 (non facteur direct) dans GO( 淋).

Si on rapporte E à une base adéquate pour 淋, la matrice U d’une similitude relative à 淋 est caractérisée par la relation:

on a donc (det U )2 = 猪n , et en particulier, det U = 梁 1 pour une transformation orthogonale; on définit comme dans le chapitre 2 le groupe des rotations O+( 淋); sauf lorsque n est pair et p = n /2, on dit que le sous-groupe d’indice 2 dans GO( 淋),

est formé de similitudes directes (les autres étant dites inverses). Pour n = 2 p , le groupe GO+( 淋) des similitudes directes est défini comme formé des similitudes u telles que det(u ) = ( 猪(u ))p ; il contient le produit direct précédent, qui en est un sous-groupe d’indice 2.

Le groupe O( 淋) relatif au cas n = 4, p = 3 joue un rôle fondamental en relativité restreinte et est connu sous le nom de groupe de Lorentz (le cône isotrope étant alors souvent appelé «cône de lumière»).

Nous supposons dans tout ce qui suit que 1 諒 pn 漣 1; on peut d’ailleurs supposer pn /2 pour l’étude de GO( 淋).

Générateurs de O( size=5淋)

Les involutions de O( 淋) se caractérisent comme ci-dessus (cf. Générateurs du groupe orthogonal , in chap. 2); mais, comme V+ et V- doivent être orthogonaux et tels que V+ + V- = E, ce sont nécessairement des espaces non isotropes . Si n = dim E, il est encore exact que toute transformation orthogonale est produit de n réflexions orthogonales au plus et que toute rotation est produit d’un nombre fini de renversements. Le centre Z0 de O( 淋) est le même que dans le cas euclidien, et on a Z0O+( 淋) si n est pair, O( 淋) = Z0O+( 淋) si n est impair.

Propriétés de transitivité

Les propriétés de transitivité sont très différentes du cas euclidien. Pour un sous-espace V de E, de dimension m , on considère le sous-espace totalement isotrope V 惡 V size=1 de dimension rm , puis un supplémentaire W de V 惡 V size=1 dans V; la restriction de 淋 à W est non dégénérée, soit (q , mrq ) sa signature. On a ainsi attaché trois invariants numériques m , r et q au sous-espace V; étant donné deux sous-espaces V1, V2 de E, pour qu’il existe une transformation orthogonale u telle que u (V1) = V2, il faut et il suffit que ces trois entiers soient les mêmes pour V1 et V2. Lorsqu’il en est ainsi, il existe même une rotation u telle que u (V1) = V2, sauf dans un cas, celui où n est pair, 淋 de signature (n /2, n /2) et où il s’agit de sous-espaces totalement isotropes de dimension maximale n /2. En effet, il existe deux classes d’intransitivité face=F9828 n1, face=F9828 n2 de ces sous-espaces, pour l’action du groupe O+( 淋); dans l’interprétation projective, ce sont les variétés projectives de dimension n /2 漣 1 contenues dans la quadrique Q de dimension n 漣 1 et pour n = 4, on retrouve les deux systèmes de génératrices classiques. Si V, V sont deux sous-espaces totalement isotropes de dimension n /2, dim (V 惡 V ) a même parité que n /2 si V et V appartiennent à la même classe d’intransitivité face=F9828 ni (i = 1, 2), une parité opposée à celle de n /2 dans le cas contraire.

Le groupe O( size=5淋) pour n = 2

Le seul cas à considérer est celui de la signature (1, 1): E, muni de 淋, est alors appelé plan hyperbolique. Il y a deux droites isotropes D1, D2 dans E; une base (a 1, a 2) de E telle que a 1 捻 D1, a 2 捻 D2 et 淋(a 1, a 2) = 1 est dite base isotrope de E. Par rapport à une telle base, la matrice d’une similitude a l’une des deux formes:

Les matrices U 1 (resp. U 2) sont celles des similitudes directes (resp. inverses); elles laissent invariantes chacune des droites isotropes (resp. les échangent). Le groupe GO+( 淋) est donc encore commutatif , mais isomorphe au produit RR ; il opère, dans ce cas, de façon simplement transitive dans R2 漣 (D1 聆 D2), et le sous-anneau qu’il engendre dans M2(R) est isomorphe à RR. Le groupe O+( 淋) est formé des matrices U 1 telles que猪 = 1 et est isomorphe au groupe multiplicatif R ; il contient donc un sous-groupe d’indice 2, O++( 淋), dit groupe des rotations orthochrones , correspondant aux matrices pour lesquelles 礪 0 et isomorphe à R+. On a par suite un isomorphisme bicontinu:

du groupe additif R sur le groupe O++( 淋). Ce dernier opère de façon simplement transitive dans chacun des quatre «quadrants» ouverts déterminés dans R2 par les droites D1, D2. Si et sont deux demi-droites contenues dans l’un d’eux (par exemple celui défini par 﨡1 礪 0, 﨡2 礪 0) la rotation orthochrone u telle que u ( ) = correspond à un nombre 礪 0 tel que-2 = (D1D2DD ), birapport de D1, de D2 et des droites D, D contenant , ; on est donc conduit ici à appeler «angle hyperbolique» (x , x ) d’un vecteur x 捻 et d’un vecteur x 捻 le nombre réel:

on a encore la relation:

pour trois vecteurs du même quadrant. Si on rapporte R2 à une base adaptée, la matrice correspondant au nombre t s’écrit:

et les traductions du fait que l’application de R sur O++( 淋) définie ainsi est un homomorphisme donnent cette fois les formules de la « trigonométrie hyperbolique ».

Les groupes +( size=5淋) pour n size=5閭 3

La description générale des rotations, en raison de l’existence des vecteurs isotropes, est ici beaucoup plus compliquée que celle donnée plus haut (cf. Structure des transformations orthogonales , in chap. 2) pour le cas euclidien, et nous ne l’indiquerons pas.

Le groupe des commutateurs de O( 淋) est ici un sous-groupe d’indice 2 de O+( 淋), qu’on appelle encore le groupe orthochrone et qu’on note O++( 淋); si l’on écrit:

une matrice de O+( 淋) par rapport à une base adaptée, X étant d’ordre p , le groupe O++( 淋) est formé des matrices pour lesquelles det(X ) 礪 0. On a Z0O++( 淋) si p et np sont pairs, O+( 淋) = Z0O++( 淋) si n est pair et p impair.

On peut encore prouver que le groupe O++( 淋)/(Z0O++( 淋)) est simple pour n = 3 et n 閭 5 ainsi que pour n = 4 et p = 1 ou p = 3; par contre, O++( 淋)/Z0 est produit direct de deux groupes simples pour n = 4 et p = 2. Les méthodes sont ici tout à fait différentes de celles qui sont employées dans le cas euclidien.

Géométries non euclidiennes

Soit 淋 une forme bilinéaire symétrique de signature (n 漣 1, 1) sur E, et soit F la partie de l’espace projectif P(E) correspondant aux vecteurs x 捻 E tels que 淋(x , x ) 麗 0; il résulte de la loi d’inertie que le groupe O( 淋) opère transitivement sur F, et y définit donc une «géométrie» qu’on appelle géométrie non euclidienne hyperbolique (en dimension n 漣 1); une variété linéaire non euclidienne de dimension mn 漣 1 est, par définition, l’intersection de F et d’une variété linéaire projective de dimension m qui rencontre F. Le groupe O( 淋) opère alors encore transitivement sur les variétés linéaires non euclidiennes de dimension donnée m ; cela résulte des propriétés de transitivité (cf. Propriétés de transitivité , in chap. 3) et de l’hypothèse p = n 漣 1 (la propriété analogue serait inexacte pour m 0 et pour m n 漣 1 si l’on prenait n /2 諒 pn 漣 2). La quadrique Q est qualifiée d’«absolu » de l’espace non euclidien F; elle n’y est évidemment pas contenue, mais donne un moyen commode d’étudier les propriétés de l’espace non euclidien F. Par exemple, comme deux plans de E peuvent rencontrer F et avoir une intersection qui soit une droite Rx avec 淋(x , x ) 礪 0, l’existence d’une infinité de droites non euclidiennes passant par un point A, contenues dans le plan non euclidien déterminé par A et une droite D, et ne rencontrant pas D (dans F) est immédiate. De même, l’étude faite plus haut (cf. Le groupe O( 淋) pour n = 2, in chap. 3) conduit à définir la distance non euclidienne de deux points A1 et A2 de F comme suit. On considère les deux points I et I où la droite non euclidienne A1A2 rencontre Q, et on prend pour distance de A1 et de A2 le nombre |lg (II A1A2)|, à un facteur près. Enfin, soit D1 et D2 deux droites non euclidiennes passant par un même point A de F; si L est la droite de E correspondant à A, D1 et D2 correspondent à deux plans P1 et P2 de E contenant L; par la loi d’inertie, la restriction de 淋 à l’hyperplan H orthogonal à L est positive non dégénérée, autrement dit H est un espace euclidien de dimension n 漣 1; si x 1 et x 2 sont deux vecteurs de longueur l orthogonaux à L dans P1 et P2 respectivement, l’angle (x 1, x 2) a donc un sens, et c’est par définition l’angle (non euclidien) des «vecteurs» AM 轢1 et AM 轢2 si M1 et M2 correspondent à Rx 1 et à Rx 2 dans P(E).

L’espace non euclidien F défini ci-dessus est encore appelé modèle de Cayley de la géométrie non euclidienne hyperbolique. Comme p = 1, F est en correspondance biunivoque canonique avec la boule unité ouverte B de Rn-1 , à tout point x 捻 B correspondant l’image dans F de la droite R(x + e n) de E = Rn ; en transportant le modèle de Cayley par cette correspondance, on obtient le modèle de Beltrami , géométrie définie dans B, où l’«absolu» est la sphère unité S définie par 瑩x 瑩 = 1.

L’application:

est une bijection de la boule B sur elle-même, qui transforme les hyperplans de Rn-1 rencontrant B en les sphères «orthogonales» à la sphère S. En transformant le modèle de Beltrami par cette transformation, on obtient le modèle de Klein-Poincaré de la géométrie non euclidienne hyperbolique, où les «hyperplans non euclidiens» sont les traces sur B des sphères «orthogonales» à S (y compris les hyperplans diamétraux de S); l’intérêt de ce modèle est que l’angle de deux «droites non euclidiennes» (c’est-à-dire dans le modèle, deux cercles «orthogonaux» à S) est l’angle euclidien des tangentes à ces deux cercles en leur point commun. En transformant encore par une inversion de pôle situé sur S, on obtient comme modèle le demi-espace de Poincaré , ensemble des xRn-1 tels que 﨡n-1 礪 0, où les hyperplans non euclidiens sont les demi-sphères de centre dans l’hyperplan H défini par 﨡n-1 = 0 et les hyperplans perpendiculaires à H.

Il y a une autre géométrie «non euclidienne» classique, la géométrie elliptique de Riemann-Klein ; ici, on prend pour 淋 une forme bilinéaire symétrique de signature (n , 0) (autrement dit, le produit scalaire euclidien dans E), et F = P(E), les variétés linéaires non euclidiennes étant ici simplement les variétés linéaires projectives; il n’y a donc pas ici de «droites parallèles» non confondues et le groupe de la géométrie est O(n , R). La notion d’angle (non euclidien) se définit comme dans la géométrie hyperbolique; quant à la distance non euclidienne de deux points A1 et A2, on la définit comme la «mesure» en radians comprise entre 0 et 神/2 de l’angle (euclidien) de deux vecteurs x 1 et x 2 correspondant respectivement à A1 et à A2.

4. Généralisations

Les groupes GL(E) et SL(E) se définissent de la même manière lorsque E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K quelconque; si n = dim E, on note aussi ces groupes GL(n , K) et SL(n , K ). Tout ce qui a été vu dans le chapitre 1 pour le cas K = R s’étend sans changement au cas général, sauf en ce qui concerne la détermination des involutions lorsque K est de caractéristique 2 et, en ce qui concerne les propriétés de conjugaison, lorsque dim E = 2. On peut toutefois montrer que SL(E) est encore son propre groupe des commutateurs sauf lorsque dim E = 2 et que K est un corps fini ayant deux ou trois éléments; la démonstration de simplicité faite plus haut dans le chapitre 1 s’applique alors sans modification et prouve que SL(E)/(ZSL(E)) est un groupe simple , sauf dans les deux cas précédents.

On peut étendre la définition de GL(E) et de SL(E) au cas où E est un espace vectoriel (à gauche) de dimension finie sur un corps K non commutatif , mais il faut utiliser dans ce cas une autre définition du déterminant; moyennant quoi, on peut encore prouver la simplicité du groupe SL(E)/(ZSL(E)); le centre Z(E) de GL(E) est ici formé des homothéties xx où 0 est dans le centre de K.

La définition de GL(E) est aussi valable pour un module (à gauche) E sur un anneau quelconque A; mais, ici, la structure de ce groupe dépend de façon essentielle de la structure de l’anneau A, et on ne connaît de résultats satisfaisants que dans un petit nombre de cas particuliers.

La notion de groupe orthogonal O( 淋) se généralise aussi au cas où E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, que nous supposerons en outre de caractéristique 2 (la caractéristique 2 introduit ici des phénomènes spéciaux); 淋 est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E. Il faut remarquer d’abord qu’il y a toujours ici des bases orthogonales (e j ) de E pour la forme 淋, c’est-à-dire 淋(e i , e j ) = 0 pour i j; mais, si l’on pose 淋(e i , e i ) = 見i , il n’est pas possible en général d’obtenir une base orthogonale pour laquelle 見i = 梁 1 pour tout i ; la notion de signature de 淋 n’a pas de sens lorsque K n’est pas un corps ordonné. Par contre, la définition des vecteurs et sous-espaces isotropes subsiste sans modification; on appelle encore indice de Witt de 淋 la dimension maximale v des sous-espaces totalement isotropes, et on a 2 vn . Il faut noter que, lorsque K est algébriquement clos (par exemple K = C), on a toujours v = [n /2], partie entière de n /2; si K est fini, on a v = [n /2] pour n impair, v = n /2 ou n /2 漣 1 si n est pair.

Tout ce qui a été dit dans le chapitre 3 sur les involutions de O( 淋) subsiste sans changement dans le cas général. Les questions de transitivité sont résolues par le théorème de Witt : Soit deux sous-espaces vectoriels V1 et V2 de même dimension dans E, pour qu’il existe une transformation uO( 淋) telle que u (V1) = V2, il faut et il suffit que les restrictions de 淋 à V1 et à V2 soient des formes équivalentes (dégénérées ou non). On peut encore alors transformer V1 en V2 par une rotation, sauf dans le même cas d’exception que pour K = R (cf. Propriétés de transitivité , in chap. 3).

Le groupe O+( 淋) est encore commutatif pour n = 2; il est formé des matrices:

telles que 見12 + 見22 = 見1; si 漣 見2/ 見1 n’est pas un carré dans K, ce groupe est isomorphe au groupe multiplicatif des éléments de norme 1 dans l’extension quadratique K(face=F0019 連漣 見2/ 見1) de K; sinon, il est isomorphe à K 憐 K .

Il n’y a rien d’analogue en général à la prétendue «mesure» des angles; autrement dit, il n’existe pas en général d’homomorphisme du groupe additif de K sur le groupe des rotations O+( 淋).

Lorsque n 閭 3, il faut distinguer, dans l’étude de la structure du groupe O+( 淋), le cas v 閭 1 et le cas v = 0.

Pour v 閭 1 (autrement dit, lorsqu’il existe des vecteurs isotropes 0), on considère le groupe 行( 淋) 說 O+( 淋) des commutateurs de O( 淋). Le quotient O+( 淋)/ 行( 淋) est isomorphe à K/K2, en désignant par K2 le groupe des carrés des éléments 0 de K; si n est pair, le groupe 行( 淋) 惡 Z0 est égal à Z0 si et seulement si le discriminant de 淋 est un carré dans K. Le groupe:

est simple pour n 閭 5. Pour n = 3, 行( 淋) est isomorphe à SL(E)/Z0, donc simple sauf si K a trois éléments; pour n = 4 et v = 1, le discriminant de 淋 ne peut être un carré dans K; 行( 淋) est alors simple et isomorphe à SL(F), où F est un espace vectoriel de dimension 2 sur K(face=F0019 連 ). Enfin, pour n = 4 et v = 2, le groupe:

est isomorphe au produit:

dont les facteurs sont simples si K 3.

Le cas v = 0 (absence de vecteurs isotropes 0) est tout à fait différent, et la structure de O( 淋) dépend essentiellement du corps de base K. Prenons par exemple n = 3 et, pour 淋, le produit scalaire usuel:

mais sur le corps Q des nombres rationnels ; les matrices U = ( 見ij ) ont donc leurs éléments rationnels , vérifiant en particulier les équations:

pour i = 1, 2, 3. Or, pour toute solution de l’équation:

en nombres rationnels (supposés réduits en fractions irréductibles), le dénominateur de chaque r i n’est pas divisible par 2. Supposons en effet le contraire: on voit alors aussitôt qu’on aurait une relation de la forme:

ou k est un entier 礪 0, m un entier impair, p 1, p 2, p 3 des entiers dont l’un au moins est impair; mais il est immédiat de vérifier que, dans ces conditions, la somme p 12 + p 22 + p 32 n’est jamais multiple de 4, d’où notre assertion.

Cela étant, pour tout entier r 閭 1, soit G, le sous-groupe de O( 淋) formé des matrices de la forme I + 2r V , où V est une matrice à coefficients rationnels dont les dénominateurs ne sont pas divisibles par 2. Pour toute matrice UO( 淋), on a alors:

en vertu de ce qui précède. Par suite, chaque Gr est un sous-groupe distingué de O( 淋); on montre qu’ils sont tous différents et forment une suite descendante:

Si K = Q, le phénomène précédent ne peut se produire que pour les dimensions 3 et 4; mais on peut, pour toute valeur de n , donner des exemples de corps K et de forme 淋 pour lequel on a une suite infinie décroissante de sous-groupes distingués de O( 淋).

5. Groupes symplectiques et groupes unitaires

Deux autres types de groupes «classiques» ont été étudiés depuis le milieu du XIXe siècle. Si E est un espace vectoriel sur un corps (commutatif) K de dimension finie n , une forme bilinéaire alternée 淋 sur E ne peut être non dégénérée que si n = 2 益 est pair. Il existe alors une base:

de E (dite base symplectique ) telle que:

pour 1 諒 i 諒 益, et:

pour tout autre couple d’indices, de sorte que l’on a:

toutes les formes alternées non dégénérées sont équivalentes. On appelle groupe symplectique (sur K) et on note Sp(2 size=1, K) le sous-groupe formé des uGL(E) tels que:

pour x , y dans E.

Considérons maintenant un corps K (non nécessairement commutatif) muni d’une involution :

distincte de l’identité, c’est-à-dire une bijection de K sur lui-même telle que:

soit E un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K, et soit 淋 une forme hermitienne non dégénérée sur E (pour l’involution donnée); le groupe U( 淋) des uGL(E) tels que:

pour x , y dans E est appelé le groupe unitaire relatif à 淋. Lorsque K est commutatif, les uU( 淋) tels que (det u )(det u ) = 1 forment un sous-groupe distingué U+( 淋), ou SU( 淋), dit groupe spécial unitaire .

Pour le groupe symplectique et pour le groupe unitaire, les définitions des vecteurs et des sous-espaces orthogonaux, des sous-espaces totalement isotropes, des sous-espaces isotropes et de l’indice de Witt sont les mêmes que dans le chapitre 4. Pour le groupe symplectique, tout vecteur est isotrope et l’indice de Witt est n /2; les transvections (cf. Générateurs , in chap. 1) appartenant à Sp(2 益, K) sont celles pour lesquelles l’hyperplan H de la transvection (toujours isotrope) est orthogonal à la droite D de la transvection; les transvections symplectiques engendrent Sp(2 益, K), donc det(u ) = 1 pour tout uSp(2 益, K). Le centre de Sp(2 益, K) est Z0. Pour p premier, désignons par p le corps fini des entiers relatifs modulo p . Le groupe Sp(2 益, K)/Z0 est simple pour 益 閭 1, sauf lorsque 益 = 1 et K = F2 ou K = F3, et lorsque 益 = 2 et K = F2; dans ce dernier cas, Sp(4, F2)/Z0 est isomorphe au groupe symétrique 6. Pour 益 = 1, Sp(2, K) = SL(2, K).

Lorsque n = 4, les plans totalement isotropes de E correspondent, dans l’espace projectif P(E), aux droites d’un complexe linéaire , et le groupe Sp(4, K)/Z0 est le groupe qui laisse ce complexe invariant, d’où son nom.

Pour les groupes unitaires, on a 益 諒 n /2, mais 益 peut prendre toutes les valeurs entières remplissant cette condition. Pour 益 礪 0, il existe dans U( 淋) des transvections dont l’hyperplan H est nécessairement isotrope et la droite D est orthogonale à H. Ces transvections engendrent un sous-groupe distingué T( 淋) de U( 淋) dont le centre W( 淋) est égal à T( 淋) 惡 Z(E); le groupe T( 淋)/W( 淋) est simple , sauf lorsque K = F9 et n = 2, ou lorsque K = F4, n = 2 et n = 3; T( 淋), pour n = 2 et K commutatif, s’identifie à SL(2, K0), où K0 est le sous-corps des invariants de l’involution de K. Lorsque K est commutatif, on a T( 淋) = U+( 淋), sauf lorsque n = 3 et K = F4. Lorsque 益 閭 2, ou lorsque n 閭 3 et que K est de rang fini sur son centre, T( 淋) est le groupe des commutateurs de U( 淋); par contre, pour n = 2, il y a des corps non commutatifs de rang 4 sur leur centre tels que T( 淋) ne soit pas le groupe des commutateurs de U( 淋), le quotient U( 淋)/T( 淋) pouvant avoir des facteurs de composition simples (non commutatifs). Pour 益 = 0, les mêmes phénomènes que pour les groupes orthogonaux peuvent se produire.

Encyclopédie Universelle. 2012.